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Theorem 1cvrco

Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses 1cvrco.b 
|- B = ( Base ` K )
1cvrco.u 
|- .1. = ( 1. ` K )
1cvrco.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
1cvrco.c 
|- C = (
1cvrco.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 1cvrco 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X C .1. <-> ( ._|_ ` X ) e. A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1cvrco.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 1cvrco.u 
 |-  .1. = ( 1. ` K )
3 1cvrco.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
4 1cvrco.c 
 |-  C = (
5 1cvrco.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 hlop 
 |-  ( K e. HL -> K e. OP )
7 6 adantr 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> K e. OP )
8 simpr 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> X e. B )
9 1 2 op1cl 
 |-  ( K e. OP -> .1. e. B )
10 7 9 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> .1. e. B )
11 1 3 4 cvrcon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ .1. e. B ) -> ( X C .1. <-> ( ._|_ ` .1. ) C ( ._|_ ` X ) ) )
12 7 8 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X C .1. <-> ( ._|_ ` .1. ) C ( ._|_ ` X ) ) )
13 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
14 13 2 3 opoc1 
 |-  ( K e. OP -> ( ._|_ ` .1. ) = ( 0. ` K ) )
15 7 14 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` .1. ) = ( 0. ` K ) )
16 15 breq1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` .1. ) C ( ._|_ ` X ) <-> ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) ) )
17 1 3 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
18 6 17 sylan 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
19 18 biantrurd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) <-> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) ) ) )
20 12 16 19 3bitrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X C .1. <-> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) ) ) )
21 1 13 4 5 isat 
 |-  ( K e. HL -> ( ( ._|_ ` X ) e. A <-> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) ) ) )
22 21 adantr 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. A <-> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( 0. ` K ) C ( ._|_ ` X ) ) ) )
23 20 22 bitr4d 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X C .1. <-> ( ._|_ ` X ) e. A ) )