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Theorem xleadd2a

Description: Commuted form of xleadd1a . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xleadd2a ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 xleadd1a ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) )
2 xaddcom ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
3 2 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
4 3 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) )
5 xaddcom ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
6 5 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
7 6 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )
8 1 4 7 3brtr3d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐶 +𝑒 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 +𝑒 𝐵 ) )