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Theorem trleile

Description: In a Toset, two elements must compare. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2018)

Ref Expression
Hypotheses trleile.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
trleile.l ⊢ ≤ = ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) )
Assertion trleile ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 ≤ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 trleile.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 trleile.l ⊢ ≤ = ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) )
3 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
4 1 3 tleile ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
5 3simpc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) )
6 brxp ⊢ ( 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) )
7 5 6 sylibr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 )
8 brin ⊢ ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 ) )
9 8 rbaib ⊢ ( 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
10 7 9 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
11 5 ancomd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
12 brxp ⊢ ( 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 ↔ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) )
13 11 12 sylibr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 )
14 brin ⊢ ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ ( 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 ) )
15 14 rbaib ⊢ ( 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 → ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
16 13 15 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) )
17 10 16 orbi12d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) )
18 4 17 mpbird ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) )
19 2 breqi ⊢ ( 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 )
20 2 breqi ⊢ ( 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 )
21 19 20 orbi12i ⊢ ( ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 ≤ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) )
22 18 21 sylibr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 ≤ 𝑋 ) )