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Theorem tendoplcl

Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
Assertion tendoplcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
5 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6 eqid ⊢ ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9 simpl2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
10 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 )
11 1 2 3 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
12 8 9 10 11 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
13 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
14 1 2 3 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
15 8 13 10 14 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
16 1 2 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
17 8 12 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
18 17 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 )
19 4 2 tendopl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
20 19 3adant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
21 20 feq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ↔ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ) )
22 18 21 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 )
23 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
24 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
25 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
26 3simpc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) )
27 1 2 3 4 tendoplco2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
28 23 24 25 26 27 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
29 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
30 simpl2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
31 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
32 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ℎ ∈ 𝑇 )
33 1 2 3 4 5 6 tendopltp ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) )
34 29 30 31 32 33 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) )
35 5 1 2 6 3 7 22 28 34 istendod ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )