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Theorem tendodi1

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
Assertion tendodi1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 tendopl.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 tendopl.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 tendopl.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) )
5 simpl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
6 simpr1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐸 )
7 simpr2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
8 simpr3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
9 1 2 3 4 tendoplcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
10 5 7 8 9 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
11 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
12 5 6 10 11 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
13 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
14 5 6 7 13 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
15 1 3 tendococl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
16 5 6 8 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
17 1 2 3 4 tendoplcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
18 5 14 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 )
19 simplll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝐾 ∈ HL )
20 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
21 simplr1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑆 ∈ 𝐸 )
22 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
23 simplr2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
24 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 )
25 1 2 3 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
26 22 23 24 25 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
27 simplr3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
28 1 2 3 tendocl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
29 22 27 24 28 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 )
30 1 2 3 tendovalco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) ) → ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
31 19 20 21 26 29 30 syl32anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
32 4 2 tendopl2 ⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
33 23 27 24 32 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
34 33 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
35 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) )
36 19 20 21 23 24 35 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) )
37 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
38 19 20 21 27 24 37 syl221anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) )
39 36 38 coeq12d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑆 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) )
40 31 34 39 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
41 22 21 23 13 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 )
42 22 21 27 15 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
43 4 2 tendopl2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
44 41 42 24 43 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
45 22 23 27 9 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )
46 1 2 3 tendocoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
47 22 21 45 24 46 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( 𝑆 ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) )
48 40 44 47 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) )
49 48 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) )
50 1 2 3 tendoeq1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) )
51 5 12 18 49 50 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 ∘ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) = ( ( 𝑆 ∘ 𝑈 ) 𝑃 ( 𝑆 ∘ 𝑉 ) ) )