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Theorem resubsub4

Description: Law for double subtraction. Compare subsub4 . (Contributed by Steven Nguyen, 14-Jan-2023)

Ref Expression
Assertion resubsub4 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( 𝐴 −ℝ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 readdcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
2 1 3adant1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
3 rersubcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 3 3adant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ )
5 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
6 rersubcl ⊢ ( ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
7 4 5 6 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
8 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
9 8 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
10 5 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
11 7 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℂ )
12 9 10 11 addassd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) ) )
13 repncan3 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) )
14 5 4 13 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) )
15 14 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ) )
16 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
17 repncan3 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ) = 𝐴 )
18 8 16 17 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) ) = 𝐴 )
19 12 15 18 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
20 2 7 19 reladdrsub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( 𝐴 −ℝ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )