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Theorem readdsub

Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023)

Ref Expression
Assertion readdsub ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
2 readdcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
3 2 3adant3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 repncan3 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
5 1 3 4 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
6 repncan3 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
7 6 ancoms ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
8 7 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
9 8 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) + 𝐵 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
10 1 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
11 rersubcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
12 11 3adant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
13 12 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℂ )
14 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
15 14 recnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
16 10 13 15 addassd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) + 𝐵 ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) )
17 5 9 16 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) )
18 rersubcl ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
19 3 1 18 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
20 12 14 readdcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ∈ ℝ )
21 readdcan ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) )
22 19 20 1 21 syl3anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) )
23 17 22 mpbid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) )