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Theorem osumcllem7N

Description: Lemma for osumclN . (Contributed by NM, 24-Mar-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses osumcllem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
osumcllem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
osumcllem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
osumcllem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
osumcllem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
osumcllem.c ⊢ 𝐶 = ( PSubCl ‘ 𝐾 )
osumcllem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
osumcllem.u ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
Assertion osumcllem7N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 osumcllem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 osumcllem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 osumcllem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 osumcllem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5 osumcllem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6 osumcllem.c ⊢ 𝐶 = ( PSubCl ‘ 𝐾 )
7 osumcllem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
8 osumcllem.u ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘ ( ⊥ ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
9 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
10 9 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
11 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
12 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
13 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑋 ≠ ∅ )
14 inss2 ⊢ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ⊆ 𝑀
15 14 sseli ⊢ ( 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
16 15 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
17 16 7 eleqtrdi ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
18 1 2 3 4 elpaddatiN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
19 10 11 12 13 17 18 syl32anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
20 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) )
21 simp121 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) )
22 simp123 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
23 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
24 inss1 ⊢ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ⊆ 𝑌
25 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) )
26 24 25 sselid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑌 )
27 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 osumcllem6N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝑌 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
29 20 21 22 23 26 27 28 syl123anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
30 29 rexlimdv3a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) )
31 19 30 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑌 ∩ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )