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Theorem muldivbinom2

Description: The square of a binomial with factor divided by a nonzero number. (Contributed by AV, 19-Jul-2021)

Ref Expression
Assertion muldivbinom2 ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) / 𝐶 ) = ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐵 ↑ 2 ) / 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
2 simpr ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
3 0cnd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 0 ∈ ℂ )
4 1 2 3 3jca ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) )
5 mulsubdivbinom2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) = ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) ) )
6 4 5 stoic3 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) = ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) ) )
7 simp3l ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
8 simp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
9 7 8 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 · 𝐴 ) ∈ ℂ )
10 simp2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
11 9 10 addcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ∈ ℂ )
12 11 sqcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ )
13 12 subid1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) − 0 ) = ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) )
14 13 eqcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) − 0 ) )
15 14 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) / 𝐶 ) = ( ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) )
16 sqcl ⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
17 16 subid1d ⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) = ( 𝐵 ↑ 2 ) )
18 17 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) = ( 𝐵 ↑ 2 ) )
19 18 eqcomd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐵 ↑ 2 ) = ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) )
20 19 oveq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐵 ↑ 2 ) / 𝐶 ) = ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) )
21 20 oveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐵 ↑ 2 ) / 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( ( 𝐵 ↑ 2 ) − 0 ) / 𝐶 ) ) )
22 6 15 21 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + 𝐵 ) ↑ 2 ) / 𝐶 ) = ( ( ( 𝐶 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) + ( ( 𝐵 ↑ 2 ) / 𝐶 ) ) )