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Theorem mdsl2i

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of MaedaMaeda p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses mdsl.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsl.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
Assertion mdsl2i ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdsl.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2 mdsl.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3 chub1 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) )
4 1 3 mpan2 ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) )
5 iba ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
6 ssin ⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
7 5 6 bitrdi ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
8 4 7 syl5ibcom ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
9 chub2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) )
10 1 9 mpan ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) )
11 10 ssrind ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
12 8 11 jctird ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ) )
13 chjcl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ )
14 1 13 mpan2 ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ )
15 chincl ⊢ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
16 2 15 mpan2 ⊢ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
17 14 16 syl ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
18 1 2 chincli ⊢ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ
19 chlub ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
20 18 19 mp3an2 ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
21 17 20 mpdan ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
22 12 21 sylibd ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
23 eqss ⊢ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
24 23 rbaib ⊢ ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
25 22 24 syl6 ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
26 25 adantld ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
27 26 pm5.74d ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
28 2 1 chub2i ⊢ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 )
29 sstr ⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) )
30 28 29 mpan2 ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) )
31 30 pm4.71ri ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) )
32 31 anbi2i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
33 anass ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
34 32 33 bitr4i ⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) )
35 34 imbi1i ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
36 27 35 bitr3di ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
37 impexp ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
38 36 37 bitrdi ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) )
39 38 ralbiia ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
40 1 2 mdsl1i ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ↔ 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 )
41 39 40 bitr2i ⊢ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )