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Theorem mdbr4

Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version quantifies an ordering instead of an inference. (Contributed by NM, 6-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion mdbr4 ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdbr2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
2 chincl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
3 inss2 ⊢ ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵
4 sseq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑦 ⊆ 𝐵 ↔ ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵 ) )
5 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) = ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) )
6 5 ineq1d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
7 oveq1 ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
8 6 7 sseq12d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
9 4 8 imbi12d ⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵 → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
10 9 rspcv ⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝐵 → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
11 3 10 mpii ⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
12 2 11 syl ⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
13 12 ex ⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
14 13 com3l ⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
15 14 ralrimdv ⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
16 dfss ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑥 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) )
17 16 biimpi ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) )
18 17 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) = ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) )
19 18 ineq1d ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
20 17 oveq1d ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
21 19 20 sseq12d ⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
22 21 biimprcd ⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
23 22 ralimi ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
24 sseq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐵 ) )
25 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) = ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) )
26 25 ineq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
27 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) = ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
28 26 27 sseq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
29 24 28 imbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
30 29 cbvralvw ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
31 23 30 sylib ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
32 15 31 impbid1 ⊢ ( 𝐵 ∈ Cℋ → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
33 32 adantl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( ∀ 𝑦 ∈ Cℋ ( 𝑦 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑦 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑦 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
34 1 33 bitrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )