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Theorem fprodshft

Description: Shift the index of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018)

Ref Expression
Hypotheses fprodshft.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
fprodshft.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
fprodshft.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
fprodshft.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
fprodshft.5 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 𝐾 ) → 𝐴 = 𝐵 )
Assertion fprodshft ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ∏ 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fprodshft.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
2 fprodshft.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
3 fprodshft.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
4 fprodshft.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
5 fprodshft.5 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 𝐾 ) → 𝐴 = 𝐵 )
6 fzfid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∈ Fin )
7 1 2 3 mptfzshft ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) : ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
8 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − 𝐾 ) = ( 𝑘 − 𝐾 ) )
9 eqid ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) )
10 ovex ⊢ ( 𝑘 − 𝐾 ) ∈ V
11 8 9 10 fvmpt ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑘 − 𝐾 ) )
12 11 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑘 − 𝐾 ) )
13 5 6 7 12 4 fprodf1o ⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ∏ 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) 𝐵 )