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Theorem fprlem2

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023)

Ref Expression
Assertion fprlem2 ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 vex ⊢ 𝑤 ∈ V
2 1 elpred ⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) )
3 2 elv ⊢ ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) )
4 simprl ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
5 simpll2 ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
6 5 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
7 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 )
8 7 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 )
9 simpllr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
10 4 8 9 3jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
11 6 10 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) )
12 simprr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑤 )
13 simplrr ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 𝑅 𝑧 )
14 12 13 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) )
15 potr ⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
16 11 14 15 sylc ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑧 )
17 4 16 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
18 17 ex ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
19 vex ⊢ 𝑥 ∈ V
20 19 elpred ⊢ ( 𝑤 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) )
21 20 elv ⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) )
22 19 elpred ⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
23 22 elv ⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
24 18 21 23 3imtr4g ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) → 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) )
25 24 ssrdv ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
26 3 25 sylan2b ⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
27 26 ralrimiva ⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )