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Theorem dalem4

Description: Lemma for dalemdnee . (Contributed by NM, 10-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem3.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem3.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem3.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem3.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem3.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
dalem3.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
Assertion dalem4 ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 ≠ 𝐸 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalemc.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalemc.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalemc.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem3.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
6 dalem3.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dalem3.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
8 dalem3.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
9 dalem3.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
10 dalem3.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
11 1 2 3 4 dalemswapyz ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
12 11 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
13 1 dalemkelat ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat )
14 1 3 4 dalempjqeb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 1 3 4 dalemsjteb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17 16 5 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
18 13 14 15 17 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
19 9 18 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
20 19 neeq1d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ≠ 𝑇 ↔ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 ) )
21 20 biimpa ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 )
22 biid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
23 eqid ⊢ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
24 eqid ⊢ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
25 22 2 3 4 5 6 8 7 23 24 dalem3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
26 12 21 25 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
27 19 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
28 1 dalemkehl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL )
29 1 dalemqea ⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 )
30 1 dalemrea ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 )
31 16 3 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 28 29 30 31 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 1 3 4 dalemtjueb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 16 5 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
35 13 32 33 34 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
36 10 35 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
37 36 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐸 = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
38 26 27 37 3netr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ≠ 𝑇 ) → 𝐷 ≠ 𝐸 )