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Theorem dalem35

Description: Lemma for dath . Analogue of dalem24 for I . (Contributed by NM, 3-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
dalem34.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem34.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem34.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
dalem34.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
dalem34.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
Assertion dalem35 ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐼 ≤ 𝑌 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6 dalem34.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem34.o ⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem34.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
9 dalem34.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
10 dalem34.i ⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
11 1 2 3 4 8 9 dalemrot ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
12 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
13 1 2 3 4 8 9 dalemrotyz ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) )
14 13 3adant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) )
15 1 2 3 4 5 8 dalemrotps ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
16 15 3adant2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
17 biid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) )
18 biid ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
19 eqid ⊢ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 )
20 eqid ⊢ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 )
21 17 2 3 4 18 6 7 19 20 10 dalem30 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) ) → ¬ 𝐼 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) )
22 12 14 16 21 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐼 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) )
23 1 3 4 dalemqrprot ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
24 8 23 eqtr4id ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) )
25 24 breq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ≤ 𝑌 ↔ 𝐼 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) )
26 25 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐼 ≤ 𝑌 ↔ 𝐼 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ) )
27 22 26 mtbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ¬ 𝐼 ≤ 𝑌 )