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Theorem cdlemk9bN

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemk9bN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
9 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemk8 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) )
10 9 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
11 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
12 2 4 5 6 ltrnel ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
13 12 3adant2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
14 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
15 2 8 14 4 5 lhpmat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
16 11 13 15 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
17 16 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) )
18 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
19 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
20 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
21 2 4 5 6 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
22 11 19 20 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
23 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
24 5 6 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
25 11 19 24 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
26 5 6 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
27 11 23 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
28 1 5 6 7 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
29 11 27 28 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
30 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
31 1 5 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
32 30 31 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
33 2 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 )
34 11 27 33 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 )
35 1 2 3 8 4 atmod4i2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ≤ 𝑊 ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
36 18 22 29 32 34 35 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∧ 𝑊 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
37 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
38 18 37 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
39 1 3 14 olj02 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) )
40 38 29 39 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) )
41 5 6 7 trlcocnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) )
42 11 19 23 41 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) )
43 40 42 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) )
44 17 36 43 3eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) )
45 10 44 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑋 ) ) )