cdlemk54

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 10, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk54	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		coass	⊢ ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) = ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) )
13		csbeq1	⊢ ( ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) = ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) → ⦋ ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ⦋ ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
14	12 13	ax-mp	⊢ ⦋ ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ⦋ ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) / 𝑔 ⦌ 𝑋
15		simp1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
16		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) )
17		simp1l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
18		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
19		simp31l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
20	6 7	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 )
21	17 18 19 20	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 )
22		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
23		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝑇 )
24		simp333	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) )
25	24	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) )
26	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk53	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ) ) → ⦋ ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
27	15 16 21 22 23 25 26	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
28		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) )
29	6 7	ltrnco	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ∈ 𝑇 )
30	17 19 23 29	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ∈ 𝑇 )
31		simp31r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
32		simp332	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
33	32 31	neeqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
34	33	necomd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) )
35		simp331	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
36	1 6 7 8	trlcone	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ∧ 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) )
37	17 19 23 34 35 36	syl122anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) )
38	31 37	eqnetrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) )
39	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk53	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
40	15 28 30 38 39	syl112anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
41	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk53	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ) ) → ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
42	15 16 19 22 23 34 41	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
43	42	coeq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) )
44		coass	⊢ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
45	43 44	eqtr4di	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
46	40 45	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ ( 𝐼 ∘ 𝑗 ) ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
47	14 27 46	3eqtr3a	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

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Theorem cdlemk54

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