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Theorem cdlemk53b

Description: Lemma for cdlemk53 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk53b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13 simp211 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14 simp212 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15 13 14 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
17 simp213 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
18 simp23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
19 simp1r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
21 12 15 16 17 18 19 20 syl132anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
22 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
23 12 21 22 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
24 23 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
25 f1of ⊢ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
26 fcoi2 ⊢ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
27 24 25 26 3syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
28 simpl1l ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
29 13 17 19 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
30 29 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
31 simpl23 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
32 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
34 28 30 31 32 33 syl112anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
35 34 coeq1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
36 32 coeq1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐼 ) )
37 simpl31 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
38 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) → 𝐼 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
39 28 37 38 syl2anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
40 f1of ⊢ ( 𝐼 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝐼 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
41 fcoi2 ⊢ ( 𝐼 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐼 ) = 𝐼 )
42 39 40 41 3syl ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐼 ) = 𝐼 )
43 36 42 eqtrd ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) = 𝐼 )
44 43 csbeq1d ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
45 27 35 44 3eqtr4rd ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
46 simpl1l ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
47 15 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
48 simpl22 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
49 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
50 48 49 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
51 17 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
52 simpl23 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
53 simpl1r ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
54 simpl3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk53a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
56 46 47 50 51 52 53 54 55 syl331anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
57 45 56 pm2.61dane ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )