This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk24-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Eliminate the ( Rx ) =/= ( RC ) requirement from cdlemk23-3 using ( RC ) = ( RD ) . (Contributed by NM, 7-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk3.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk3.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk3.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk3.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk3.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk3.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk3.u1 ⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemk24-3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk3.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk3.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk3.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk3.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk3.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk3.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk3.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk3.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk3.u1 ⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
11 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
12 simp32l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
13 simp331 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
14 simp32r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
15 13 14 neeqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) )
16 12 15 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) )
17 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) )
18 11 16 17 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemk23-3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
20 18 19 syld3an3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )