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Theorem cdlemg34

Description: Use cdlemg33 to eliminate z from cdlemg29 . TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg34 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
11 simp11 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) )
12 simp121 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
13 simp2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
14 simp3l ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 )
15 13 14 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) )
16 simp122 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) )
17 simp3r1 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
18 simp3r2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑂 )
19 17 18 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) )
20 simp3r3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
21 simp131 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
22 simp132 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
23 21 22 jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg29 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
25 11 12 15 16 19 20 23 24 syl133anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
26 25 rexlimdv3a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) ) )
27 10 26 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )