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Theorem cdlemftr2

Description: Special case of cdlemf showing existence of non-identity translation with trace different from any 2 given lattice elements. (Contributed by NM, 25-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemftr.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemftr.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemftr.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemftr.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemftr2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemftr.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemftr.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdlemftr.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdlemftr.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 1 2 3 4 cdlemftr3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) )
6 simpl ⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
7 simpr1 ⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 )
8 simpr2 ⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 )
9 6 7 8 3jca ⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )
10 9 reximi ⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )
11 5 10 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )