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Theorem cdleme28b

Description: Lemma for cdleme25b . TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme26.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme26.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme26.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme26.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme26.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme26.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme27.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme27.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme27.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑧 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme27.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme27.d ⊢ 𝐷 = ( ℩ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑢 = 𝑁 ) )
cdleme27.c ⊢ 𝐶 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐷 , 𝐹 )
cdleme27.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme27.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme27.e ⊢ 𝐸 = ( ℩ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑢 = 𝑂 ) )
cdleme27.y ⊢ 𝑌 = if ( 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐸 , 𝐺 )
Assertion cdleme28b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme26.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme26.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme26.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme26.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme26.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme26.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme27.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8 cdleme27.f ⊢ 𝐹 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme27.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑧 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
10 cdleme27.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
11 cdleme27.d ⊢ 𝐷 = ( ℩ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑢 = 𝑁 ) )
12 cdleme27.c ⊢ 𝐶 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐷 , 𝐹 )
13 cdleme27.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
14 cdleme27.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑧 ) ∧ 𝑊 ) ) )
15 cdleme27.e ⊢ 𝐸 = ( ℩ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑢 = 𝑂 ) )
16 cdleme27.y ⊢ 𝑌 = if ( 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐸 , 𝐺 )
17 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
18 17 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
19 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
20 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
21 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
22 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) )
23 simp21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdleme27cl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝐶 ∈ 𝐵 )
25 17 19 20 21 22 23 24 syl222anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝐵 )
26 simp33l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
27 1 6 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
28 19 27 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
29 1 4 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
30 18 26 28 29 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
31 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 )
32 18 25 30 31 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 )
33 simp23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) )
34 1 2 3 4 5 6 7 13 9 14 15 16 cdleme27cl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
35 17 19 20 21 33 23 34 syl222anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
36 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 )
37 18 35 30 36 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ∈ 𝐵 )
38 eqid ⊢ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) )
39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 cdleme28a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
40 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
41 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑠 ≠ 𝑡 )
42 41 necomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑡 ≠ 𝑠 )
43 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) )
44 43 ancomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) )
45 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) )
46 eqid ⊢ ( ( 𝑡 ∨ 𝑠 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑡 ∨ 𝑠 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) )
47 1 2 3 4 5 6 7 13 9 14 15 16 8 10 11 12 46 cdleme28a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑠 ∧ ( ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
48 40 20 21 23 33 22 42 44 45 47 syl333anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) ≤ ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )
49 1 2 18 32 37 39 48 latasymd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑠 ≠ 𝑡 ∧ ( ( 𝑠 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ∧ ( 𝑡 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐶 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑌 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )