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Theorem cdleme20y

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020)

Ref Expression
Hypotheses cdleme20z.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme20z.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme20z.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme20z.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion cdleme20y ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme20z.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme20z.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme20z.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme20z.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simp22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
7 simp23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
8 simp21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
9 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
10 1 2 3 4 2llnma2rN ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )
11 5 6 7 8 9 10 syl131anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )