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Theorem cdleme0moN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 9-Nov-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleme0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme0.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme0.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme0.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme0moN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑅 = 𝑃 ∨ 𝑅 = 𝑄 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme0.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme0.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme0.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 simp23r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 )
8 neanior ⊢ ( ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ↔ ¬ ( 𝑅 = 𝑃 ∨ 𝑅 = 𝑄 ) )
9 simpl33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) )
10 simp23l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
11 10 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 )
13 simprr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑄 )
14 simpl32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
15 simpl1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
16 hlcvl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat )
17 15 16 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
18 simp21l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
19 18 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
20 simp22l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
21 20 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
22 simpl31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
23 4 1 2 cvlsupr2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
24 17 19 21 11 22 23 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) )
25 12 13 14 24 mpbir3and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
26 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
27 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
28 simp21r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 )
29 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
30 1 2 3 4 5 6 lhpat2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
31 26 27 18 28 20 29 30 syl222anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
32 31 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
33 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
34 simpl21 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
35 simpl22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
36 1 2 3 4 5 6 cdleme02N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) )
37 36 simpld ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) )
38 33 34 35 22 37 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) )
39 df-rmo ⊢ ( ∃* 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) )
40 oveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑅 → ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
41 oveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑅 → ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
42 40 41 eqeq12d ⊢ ( 𝑟 = 𝑅 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
43 oveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑈 → ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) )
44 oveq2 ⊢ ( 𝑟 = 𝑈 → ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) )
45 43 44 eqeq12d ⊢ ( 𝑟 = 𝑈 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) )
46 42 45 rmoi ⊢ ( ( ∃* 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑅 = 𝑈 )
47 39 46 syl3an1br ⊢ ( ( ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑅 = 𝑈 )
48 9 11 25 32 38 47 syl122anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 = 𝑈 )
49 36 simprd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
50 33 34 35 22 49 syl121anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
51 48 50 eqbrtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≤ 𝑊 )
52 51 ex ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ) → 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
53 8 52 biimtrrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ¬ ( 𝑅 = 𝑃 ∨ 𝑅 = 𝑄 ) → 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
54 7 53 mt3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ∃* 𝑟 ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑅 = 𝑃 ∨ 𝑅 = 𝑄 ) )