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Theorem addsin

Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007)

Ref Expression
Assertion addsin ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) + ( sin ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 addcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
2 1 halfcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ )
3 2 sincld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
4 subcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
5 4 halfcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ )
6 5 coscld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
7 3 6 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
8 7 2timesd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
9 sinadd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
10 2 5 9 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
11 sinsub ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
12 2 5 11 syl2anc ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
13 10 12 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) )
14 2 coscld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
15 5 sincld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
16 14 15 mulcld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
17 7 16 7 ppncand ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
18 13 17 eqtrd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 ∧ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 ) )
20 19 simpld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 )
21 20 fveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( sin ‘ 𝐴 ) )
22 19 simprd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 )
23 22 fveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( sin ‘ 𝐵 ) )
24 21 23 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( sin ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) + ( sin ‘ 𝐵 ) ) )
25 8 18 24 3eqtr2rd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) + ( sin ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )