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Theorem 3atlem7

Description: Lemma for 3at . (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses 3at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 3atlem7 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 3at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 3at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) )
5 simpl2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
6 simpl2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
7 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) )
8 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
9 1 2 3 3atlem6 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
10 4 5 6 7 8 9 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
11 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) )
12 simpl2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
13 simpl2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
14 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) )
15 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
16 1 2 3 3atlem5 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
17 11 12 13 14 15 16 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
18 10 17 pm2.61dan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )