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Metamath Proof Explorer

Theorem merco1lem3

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1 . (Contributed by Anthony Hart, 17-Sep-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	merco1lem3	$⊢ ((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		merco1lem2	$⊢ ((φ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to ⊥)$
2		retbwax2	$⊢ (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ)) \to (φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ)))$
3		merco1lem2	$⊢ ((((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ)) \to (φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ)))) \to ((((φ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to ⊥)) \to (φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (((φ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to ⊥)) \to (φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ)))$
5	1 4	ax-mp	$⊢ φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))$
6		merco1lem2	$⊢ ((χ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥)$
7		retbwax2	$⊢ (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)) \to ((φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)))$
8		merco1lem2	$⊢ ((((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)) \to ((φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)))) \to ((((χ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥)) \to ((φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ))))$
9	7 8	ax-mp	$⊢ (((χ \to φ) \to ⊥) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to ⊥)) \to ((φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)))$
10	6 9	ax-mp	$⊢ (φ \to (((φ \to φ) \to (φ \to ⊥)) \to (φ \to φ))) \to (((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ))$
11	5 10	ax-mp	$⊢ ((φ \to ψ) \to (χ \to ⊥)) \to (χ \to φ)$