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Theorem zfpow

Description: Axiom of Power Sets expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003)

Ref Expression
Assertion zfpow 
|- E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-pow 
 |-  E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x )
2 elequ1 
 |-  ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) )
3 elequ1 
 |-  ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
4 2 3 imbi12d 
 |-  ( w = x -> ( ( w e. y -> w e. z ) <-> ( x e. y -> x e. z ) ) )
5 4 cbvalvw 
 |-  ( A. w ( w e. y -> w e. z ) <-> A. x ( x e. y -> x e. z ) )
6 5 imbi1i 
 |-  ( ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
7 6 albii 
 |-  ( A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
9 1 8 mpbi 
 |-  E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )