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Theorem totbndss

Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015)

Ref Expression
Assertion totbndss 
|- ( ( M e. ( TotBnd ` X ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( TotBnd ` S ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 istotbnd 
 |-  ( M e. ( TotBnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. d e. RR+ E. v e. Fin ( U. v = X /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
2 1 simprbi 
 |-  ( M e. ( TotBnd ` X ) -> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( U. v = X /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3 sseq2 
 |-  ( U. v = X -> ( S C_ U. v <-> S C_ X ) )
4 3 biimprcd 
 |-  ( S C_ X -> ( U. v = X -> S C_ U. v ) )
5 4 anim1d 
 |-  ( S C_ X -> ( ( U. v = X /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
6 5 reximdv 
 |-  ( S C_ X -> ( E. v e. Fin ( U. v = X /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> E. v e. Fin ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
7 6 ralimdv 
 |-  ( S C_ X -> ( A. d e. RR+ E. v e. Fin ( U. v = X /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) -> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
8 2 7 mpan9 
 |-  ( ( M e. ( TotBnd ` X ) /\ S C_ X ) -> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) )
9 totbndmet 
 |-  ( M e. ( TotBnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
10 eqid 
 |-  ( M |` ( S X. S ) ) = ( M |` ( S X. S ) )
11 10 sstotbnd 
 |-  ( ( M e. ( Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( ( M |` ( S X. S ) ) e. ( TotBnd ` S ) <-> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
12 9 11 sylan 
 |-  ( ( M e. ( TotBnd ` X ) /\ S C_ X ) -> ( ( M |` ( S X. S ) ) e. ( TotBnd ` S ) <-> A. d e. RR+ E. v e. Fin ( S C_ U. v /\ A. b e. v E. x e. X b = ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
13 8 12 mpbird 
 |-  ( ( M e. ( TotBnd ` X ) /\ S C_ X ) -> ( M |` ( S X. S ) ) e. ( TotBnd ` S ) )