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Theorem tendoipl

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendoicl.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendoicl.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendoicl.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendoicl.i 
|- I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
tendoi.b 
|- B = ( Base ` K )
tendoi.p 
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
tendoi.o 
|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
Assertion tendoipl 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendoicl.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendoicl.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendoicl.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 tendoicl.i 
 |-  I = ( s e. E |-> ( f e. T |-> `' ( s ` f ) ) )
5 tendoi.b 
 |-  B = ( Base ` K )
6 tendoi.p 
 |-  P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
7 tendoi.o 
 |-  O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
8 simpl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 1 2 3 4 tendoicl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( I ` S ) e. E )
10 simpr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S e. E )
11 1 2 3 6 tendoplcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I ` S ) e. E /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
12 8 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) e. E )
13 5 1 2 3 7 tendo0cl 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
14 13 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> O e. E )
15 4 2 tendoi2 
 |-  ( ( S e. E /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
16 15 adantll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( I ` S ) ` g ) = `' ( S ` g ) )
17 16 coeq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) )
18 simpll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 1 2 3 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
20 19 3expa 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
21 5 1 2 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` g ) e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
22 18 20 21 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1 
 |-  ( ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
24 22 23 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( `' ( S ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
25 17 24 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( _I |` B ) )
26 9 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( I ` S ) e. E )
27 simplr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> S e. E )
28 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> g e. T )
29 6 2 tendopl2 
 |-  ( ( ( I ` S ) e. E /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
30 26 27 28 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( ( ( I ` S ) ` g ) o. ( S ` g ) ) )
31 7 5 tendo02 
 |-  ( g e. T -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
32 31 adantl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
33 25 30 32 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
34 33 ralrimiva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) )
35 1 2 3 tendoeq1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( I ` S ) P S ) e. E /\ O e. E ) /\ A. g e. T ( ( ( I ` S ) P S ) ` g ) = ( O ` g ) ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )
36 8 12 14 34 35 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( ( I ` S ) P S ) = O )