This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem submaval0

Description: Second substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018)

Ref Expression
Hypotheses submafval.a 
|- A = ( N Mat R )
submafval.q 
|- Q = ( N subMat R )
submafval.b 
|- B = ( Base ` A )
Assertion submaval0 
|- ( M e. B -> ( Q ` M ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 submafval.a 
 |-  A = ( N Mat R )
2 submafval.q 
 |-  Q = ( N subMat R )
3 submafval.b 
 |-  B = ( Base ` A )
4 1 3 matrcl 
 |-  ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
5 4 simpld 
 |-  ( M e. B -> N e. Fin )
6 mpoexga 
 |-  ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) e. _V )
7 5 5 6 syl2anc 
 |-  ( M e. B -> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) e. _V )
8 oveq 
 |-  ( m = M -> ( i m j ) = ( i M j ) )
9 8 mpoeq3dv 
 |-  ( m = M -> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) = ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) )
10 9 mpoeq3dv 
 |-  ( m = M -> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) )
11 1 2 3 submafval 
 |-  Q = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) )
12 10 11 fvmptg 
 |-  ( ( M e. B /\ ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) e. _V ) -> ( Q ` M ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) )
13 7 12 mpdan 
 |-  ( M e. B -> ( Q ` M ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i M j ) ) ) )