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Theorem satfvsuc

Description: The value of the satisfaction predicate as function over wff codes at a successor. (Contributed by AV, 10-Oct-2023)

Ref Expression
Hypothesis satfv0.s 
|- S = ( M Sat E )
Assertion satfvsuc 
|- ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( S ` suc N ) = ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 satfv0.s 
 |-  S = ( M Sat E )
2 peano2 
 |-  ( N e. _om -> suc N e. _om )
3 elelsuc 
 |-  ( suc N e. _om -> suc N e. suc _om )
4 2 3 syl 
 |-  ( N e. _om -> suc N e. suc _om )
5 1 satfvsucom 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ suc N e. suc _om ) -> ( S ` suc N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` suc N ) )
6 4 5 syl3an3 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( S ` suc N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` suc N ) )
7 nnon 
 |-  ( N e. _om -> N e. On )
8 7 3ad2ant3 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> N e. On )
9 rdgsuc 
 |-  ( N e. On -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` suc N ) = ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) )
10 8 9 syl 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` suc N ) = ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) )
11 elelsuc 
 |-  ( N e. _om -> N e. suc _om )
12 1 satfvsucom 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. suc _om ) -> ( S ` N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) )
13 11 12 syl3an3 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( S ` N ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) )
14 13 eqcomd 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) = ( S ` N ) )
15 14 fveq2d 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) = ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( S ` N ) ) )
16 eqid 
 |-  ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) = ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )
17 id 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> f = ( S ` N ) )
18 rexeq 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) <-> E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) ) )
19 18 orbi1d 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> ( ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) <-> ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) )
20 19 rexeqbi1dv 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> ( E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) <-> E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) ) )
21 20 opabbidv 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } = { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } )
22 17 21 uneq12d 
 |-  ( f = ( S ` N ) -> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) = ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )
23 fvexd 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( S ` N ) e. _V )
24 1 satfvsuclem2 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } e. _V )
25 unexg 
 |-  ( ( ( S ` N ) e. _V /\ { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } e. _V ) -> ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) e. _V )
26 23 24 25 syl2anc 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) e. _V )
27 16 22 23 26 fvmptd3 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( S ` N ) ) = ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )
28 15 27 eqtrd 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) ` ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | E. u e. f ( E. v e. f ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) ) , { <. x , y >. | E. i e. _om E. j e. _om ( x = ( i e.g j ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | ( a ` i ) E ( a ` j ) } ) } ) ` N ) ) = ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )
29 6 10 28 3eqtrd 
 |-  ( ( M e. V /\ E e. W /\ N e. _om ) -> ( S ` suc N ) = ( ( S ` N ) u. { <. x , y >. | E. u e. ( S ` N ) ( E. v e. ( S ` N ) ( x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) /\ y = ( ( M ^m _om ) \ ( ( 2nd ` u ) i^i ( 2nd ` v ) ) ) ) \/ E. i e. _om ( x = A.g i ( 1st ` u ) /\ y = { a e. ( M ^m _om ) | A. z e. M ( { <. i , z >. } u. ( a |` ( _om \ { i } ) ) ) e. ( 2nd ` u ) } ) ) } ) )