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Theorem rspsbc2

Description: rspsbc with two quantifying variables. This proof is rspsbc2VD automatically translated and minimized. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion rspsbc2 
|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idd 
 |-  ( A e. B -> ( C e. D -> C e. D ) )
2 rspsbc 
 |-  ( A e. B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) )
3 2 a1d 
 |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) ) )
4 sbcralg 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph <-> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
5 4 biimpd 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )
6 3 5 syl6d 
 |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) ) )
7 rspsbc 
 |-  ( C e. D -> ( A. y e. D [. A / x ]. ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) )
8 1 6 7 syl10 
 |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )