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Theorem ringcomlem

Description: Lemma for ringcom . This (formerly) part of the proof for ringcom is also applicable for semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring), see srgcom4lem . (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014) Variant of rglcom4d for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses ringacl.b 
|- B = ( Base ` R )
ringacl.p 
|- .+ = ( +g ` R )
Assertion ringcomlem 
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringacl.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 ringacl.p 
 |-  .+ = ( +g ` R )
3 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4 1 2 3 ringdir 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
5 4 ralrimivvva 
 |-  ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .+ y ) ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .r ` R ) z ) .+ ( y ( .r ` R ) z ) ) )
7 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8 1 7 ringidcl 
 |-  ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
9 8 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
10 1 3 7 ringlidm 
 |-  ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
11 10 ralrimiva 
 |-  ( R e. Ring -> A. x e. B ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
12 11 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
13 simp2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
14 1 2 ringacl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
15 14 3expb 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
16 15 ralrimivva 
 |-  ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B )
17 16 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B )
18 1 2 3 ringdi 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
19 18 ralrimivvva 
 |-  ( R e. Ring -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
20 19 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x ( .r ` R ) ( y .+ z ) ) = ( ( x ( .r ` R ) y ) .+ ( x ( .r ` R ) z ) ) )
21 simp3 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
22 6 9 12 13 17 20 21 rglcom4d 
 |-  ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )