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Theorem rexrab2

Description: Existential quantification over a class abstraction. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis ralab2.1 
|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
Assertion rexrab2 
|- ( E. x e. { y e. A | ph } ps <-> E. y e. A ( ph /\ ch ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ralab2.1 
 |-  ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
2 df-rab 
 |-  { y e. A | ph } = { y | ( y e. A /\ ph ) }
3 2 rexeqi 
 |-  ( E. x e. { y e. A | ph } ps <-> E. x e. { y | ( y e. A /\ ph ) } ps )
4 1 rexab2 
 |-  ( E. x e. { y | ( y e. A /\ ph ) } ps <-> E. y ( ( y e. A /\ ph ) /\ ch ) )
5 anass 
 |-  ( ( ( y e. A /\ ph ) /\ ch ) <-> ( y e. A /\ ( ph /\ ch ) ) )
6 5 exbii 
 |-  ( E. y ( ( y e. A /\ ph ) /\ ch ) <-> E. y ( y e. A /\ ( ph /\ ch ) ) )
7 df-rex 
 |-  ( E. y e. A ( ph /\ ch ) <-> E. y ( y e. A /\ ( ph /\ ch ) ) )
8 6 7 bitr4i 
 |-  ( E. y ( ( y e. A /\ ph ) /\ ch ) <-> E. y e. A ( ph /\ ch ) )
9 3 4 8 3bitri 
 |-  ( E. x e. { y e. A | ph } ps <-> E. y e. A ( ph /\ ch ) )