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Metamath Proof Explorer

Theorem reeanlem

Description: Lemma factoring out common proof steps of reeanv and reean . (Contributed by Wolf Lammen, 20-Aug-2023)

Ref Expression
Hypothesis reeanlem.1 
|- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
Assertion reeanlem 
|- ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 reeanlem.1 
 |-  ( E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
2 an4 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) )
3 2 2exbii 
 |-  ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. B /\ ps ) ) )
4 3 1 bitri 
 |-  ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
5 r2ex 
 |-  ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
6 df-rex 
 |-  ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
7 df-rex 
 |-  ( E. y e. B ps <-> E. y ( y e. B /\ ps ) )
8 6 7 anbi12i 
 |-  ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y ( y e. B /\ ps ) ) )
9 4 5 8 3bitr4i 
 |-  ( E. x e. A E. y e. B ( ph /\ ps ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. B ps ) )