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Metamath Proof Explorer

Theorem r2allem

Description: Lemma factoring out common proof steps of r2alf and r2al . Introduced to reduce dependencies on axioms. (Contributed by Wolf Lammen, 9-Jan-2020)

Ref Expression
Hypothesis r2allem.1 
|- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
Assertion r2allem 
|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r2allem.1 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
2 df-ral 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
3 impexp 
 |-  ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
4 3 albii 
 |-  ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
5 df-ral 
 |-  ( A. y e. B ph <-> A. y ( y e. B -> ph ) )
6 5 imbi2i 
 |-  ( ( x e. A -> A. y e. B ph ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
7 1 4 6 3bitr4i 
 |-  ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
8 7 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
9 2 8 bitr4i 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )