This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem ptopn

Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015)

Ref Expression
Hypotheses ptopn.1 
|- ( ph -> A e. V )
ptopn.2 
|- ( ph -> F : A --> Top )
ptopn.3 
|- ( ph -> W e. Fin )
ptopn.4 
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. ( F ` k ) )
ptopn.5 
|- ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> S = U. ( F ` k ) )
Assertion ptopn 
|- ( ph -> X_ k e. A S e. ( Xt_ ` F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ptopn.1 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 ptopn.2 
 |-  ( ph -> F : A --> Top )
3 ptopn.3 
 |-  ( ph -> W e. Fin )
4 ptopn.4 
 |-  ( ( ph /\ k e. A ) -> S e. ( F ` k ) )
5 ptopn.5 
 |-  ( ( ph /\ k e. ( A \ W ) ) -> S = U. ( F ` k ) )
6 eqid 
 |-  { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
7 6 ptbas 
 |-  ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
8 1 2 7 syl2anc 
 |-  ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases )
9 bastg 
 |-  ( { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
10 8 9 syl 
 |-  ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
11 2 ffnd 
 |-  ( ph -> F Fn A )
12 6 ptval 
 |-  ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
13 1 11 12 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) )
14 10 13 sseqtrrd 
 |-  ( ph -> { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( Xt_ ` F ) )
15 6 1 3 4 5 elptr2 
 |-  ( ph -> X_ k e. A S e. { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) } )
16 14 15 sseldd 
 |-  ( ph -> X_ k e. A S e. ( Xt_ ` F ) )