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Theorem mhmlin

Description: A monoid homomorphism commutes with composition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses mhmlin.b 
|- B = ( Base ` S )
mhmlin.p 
|- .+ = ( +g ` S )
mhmlin.q 
|- .+^ = ( +g ` T )
Assertion mhmlin 
|- ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mhmlin.b 
 |-  B = ( Base ` S )
2 mhmlin.p 
 |-  .+ = ( +g ` S )
3 mhmlin.q 
 |-  .+^ = ( +g ` T )
4 eqid 
 |-  ( Base ` T ) = ( Base ` T )
5 eqid 
 |-  ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6 eqid 
 |-  ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7 1 4 2 3 5 6 ismhm 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> ( Base ` T ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) )
8 7 simprbi 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) -> ( F : B --> ( Base ` T ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) )
9 8 simp2d 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) -> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
10 fvoveq1 
 |-  ( x = X -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ y ) ) )
11 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
12 11 oveq1d 
 |-  ( x = X -> ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) )
13 10 12 eqeq12d 
 |-  ( x = X -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
14 oveq2 
 |-  ( y = Y -> ( X .+ y ) = ( X .+ Y ) )
15 14 fveq2d 
 |-  ( y = Y -> ( F ` ( X .+ y ) ) = ( F ` ( X .+ Y ) ) )
16 fveq2 
 |-  ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
17 16 oveq2d 
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )
18 15 17 eqeq12d 
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` ( X .+ y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
19 13 18 rspc2v 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
20 9 19 syl5com 
 |-  ( F e. ( S MndHom T ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) ) )
21 20 3impib 
 |-  ( ( F e. ( S MndHom T ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .+ Y ) ) = ( ( F ` X ) .+^ ( F ` Y ) ) )