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Theorem mercolem4

Description: Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2 . (Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion mercolem4 
|- ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merco2 
 |-  ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) )
2 merco2 
 |-  ( ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) )
3 merco2 
 |-  ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( th -> ch ) ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) )
4 mercolem1 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( th -> ch ) ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( F. -> ph ) -> ( th -> ch ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) )
5 3 4 ax-mp 
 |-  ( ( ( F. -> ph ) -> ( th -> ch ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) )
6 mercolem1 
 |-  ( ( ( ( F. -> ph ) -> ( th -> ch ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) -> ( ( th -> ch ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  ( ( th -> ch ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) )
8 merco2 
 |-  ( ( ( th -> ch ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) ) )
9 7 8 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) )
10 mercolem3 
 |-  ( ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) ) -> ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) ) ) )
11 9 10 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) ) )
12 merco2 
 |-  ( ( ( ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) -> th ) -> ( ( F. -> ph ) -> ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) ) ) )
13 11 12 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( et -> ph ) -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> th ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) ) )
14 2 13 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) ) )
15 1 14 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ph -> ph ) -> ( ( F. -> ph ) -> ph ) ) -> ( ( ph -> ph ) -> ( ph -> ( ph -> ph ) ) ) ) -> ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) ) )
16 1 15 ax-mp 
 |-  ( ( th -> ( et -> ph ) ) -> ( ( ( th -> ch ) -> ph ) -> ( ta -> ( et -> ph ) ) ) )