| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
lubpr.k |
|- ( ph -> K e. Poset ) |
| 2 |
|
lubpr.b |
|- B = ( Base ` K ) |
| 3 |
|
lubpr.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
| 4 |
|
lubpr.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
| 5 |
|
lubpr.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
| 6 |
|
lubpr.c |
|- ( ph -> X .<_ Y ) |
| 7 |
|
lubpr.s |
|- ( ph -> S = { X , Y } ) |
| 8 |
|
lubpr.u |
|- U = ( lub ` K ) |
| 9 |
|
breq1 |
|- ( z = X -> ( z .<_ Y <-> X .<_ Y ) ) |
| 10 |
9 3 6
|
elrabd |
|- ( ph -> X e. { z e. B | z .<_ Y } ) |
| 11 |
|
breq1 |
|- ( z = Y -> ( z .<_ Y <-> Y .<_ Y ) ) |
| 12 |
2 5
|
posref |
|- ( ( K e. Poset /\ Y e. B ) -> Y .<_ Y ) |
| 13 |
1 4 12
|
syl2anc |
|- ( ph -> Y .<_ Y ) |
| 14 |
11 4 13
|
elrabd |
|- ( ph -> Y e. { z e. B | z .<_ Y } ) |
| 15 |
10 14
|
prssd |
|- ( ph -> { X , Y } C_ { z e. B | z .<_ Y } ) |
| 16 |
2 5 8 1 4
|
lublecl |
|- ( ph -> { z e. B | z .<_ Y } e. dom U ) |
| 17 |
2 5 8 1 4
|
lubid |
|- ( ph -> ( U ` { z e. B | z .<_ Y } ) = Y ) |
| 18 |
|
prid2g |
|- ( Y e. B -> Y e. { X , Y } ) |
| 19 |
4 18
|
syl |
|- ( ph -> Y e. { X , Y } ) |
| 20 |
17 19
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( U ` { z e. B | z .<_ Y } ) e. { X , Y } ) |
| 21 |
1 15 8 16 20
|
lubsscl |
|- ( ph -> ( { X , Y } e. dom U /\ ( U ` { X , Y } ) = ( U ` { z e. B | z .<_ Y } ) ) ) |
| 22 |
21
|
simpld |
|- ( ph -> { X , Y } e. dom U ) |
| 23 |
7 22
|
eqeltrd |
|- ( ph -> S e. dom U ) |
| 24 |
7
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( U ` S ) = ( U ` { X , Y } ) ) |
| 25 |
21
|
simprd |
|- ( ph -> ( U ` { X , Y } ) = ( U ` { z e. B | z .<_ Y } ) ) |
| 26 |
24 25 17
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( U ` S ) = Y ) |
| 27 |
23 26
|
jca |
|- ( ph -> ( S e. dom U /\ ( U ` S ) = Y ) ) |