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Theorem lnopeq0lem2

Description: Lemma for lnopeq0i . (Contributed by NM, 26-Jul-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis lnopeq0.1 
|- T e. LinOp
Assertion lnopeq0lem2 
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lnopeq0.1 
 |-  T e. LinOp
2 fveq2 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` A ) = ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) )
3 2 oveq1d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) )
4 fvoveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A +h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) )
5 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A +h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) )
6 4 5 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) )
7 fvoveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A -h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) )
8 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) )
9 7 8 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) )
10 6 9 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) )
11 fvoveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) )
12 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A +h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) )
13 11 12 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) )
14 fvoveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) )
15 oveq1 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( A -h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) )
16 14 15 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) )
17 13 16 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) )
18 17 oveq2d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) )
19 10 18 oveq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) )
20 19 oveq1d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )
21 3 20 eqeq12d 
 |-  ( A = if ( A e. ~H , A , 0h ) -> ( ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) ) )
22 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
23 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
24 23 fveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
25 24 23 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
26 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
27 26 fveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
28 27 26 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
29 25 28 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
30 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( _i .h B ) = ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) )
31 30 oveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
32 31 fveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
33 32 31 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
34 30 oveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) = ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) )
35 34 fveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) = ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
36 35 34 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) = ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) )
37 33 36 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) = ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) )
38 37 oveq2d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) )
39 29 38 oveq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) )
40 39 oveq1d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 ) )
41 22 40 eqeq12d 
 |-  ( B = if ( B e. ~H , B , 0h ) -> ( ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h B ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) <-> ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 ) ) )
42 ifhvhv0 
 |-  if ( A e. ~H , A , 0h ) e. ~H
43 ifhvhv0 
 |-  if ( B e. ~H , B , 0h ) e. ~H
44 1 42 43 lnopeq0lem1 
 |-  ( ( T ` if ( A e. ~H , A , 0h ) ) .ih if ( B e. ~H , B , 0h ) ) = ( ( ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) +h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) - ( ( T ` ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) .ih ( if ( A e. ~H , A , 0h ) -h ( _i .h if ( B e. ~H , B , 0h ) ) ) ) ) ) ) / 4 )
45 21 41 44 dedth2h 
 |-  ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( T ` A ) .ih B ) = ( ( ( ( ( T ` ( A +h B ) ) .ih ( A +h B ) ) - ( ( T ` ( A -h B ) ) .ih ( A -h B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( T ` ( A +h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A +h ( _i .h B ) ) ) - ( ( T ` ( A -h ( _i .h B ) ) ) .ih ( A -h ( _i .h B ) ) ) ) ) ) / 4 ) )