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Theorem lhpmcvr5N

Description: Specialization of lhpmcvr2 . (Contributed by NM, 6-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses lhpmcvr2.b 
|- B = ( Base ` K )
lhpmcvr2.l 
|- .<_ = ( le ` K )
lhpmcvr2.j 
|- .\/ = ( join ` K )
lhpmcvr2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
lhpmcvr2.a 
|- A = ( Atoms ` K )
lhpmcvr2.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion lhpmcvr5N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lhpmcvr2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 lhpmcvr2.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lhpmcvr2.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 lhpmcvr2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 lhpmcvr2.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 lhpmcvr2.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 1 2 3 4 5 6 lhpmcvr2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
8 7 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
9 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ W )
10 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
12 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p e. A )
13 12 9 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
14 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> Y e. B )
15 simp13r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W )
16 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. HL )
17 16 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> K e. Lat )
18 1 5 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
19 18 3ad2ant2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p e. B )
20 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> X e. B )
21 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. H )
22 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
23 21 22 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> W e. B )
24 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
25 17 20 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
26 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) )
27 17 19 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) )
28 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X )
29 27 28 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> p .<_ X )
30 1 2 3 4 5 6 lhpmcvr4N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W /\ p .<_ X ) ) -> -. p .<_ Y )
31 10 11 13 14 15 29 30 syl123anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. p .<_ Y )
32 9 31 28 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
33 32 3expia 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) )
34 33 reximdva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ W /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) )
35 8 34 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. p e. A ( -. p .<_ W /\ -. p .<_ Y /\ ( p .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )