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Theorem lautcnvle

Description: Less-than or equal property of lattice automorphism converse. (Contributed by NM, 19-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses lautcnvle.b 
|- B = ( Base ` K )
lautcnvle.l 
|- .<_ = ( le ` K )
lautcnvle.i 
|- I = ( LAut ` K )
Assertion lautcnvle 
|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( `' F ` X ) .<_ ( `' F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lautcnvle.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 lautcnvle.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lautcnvle.i 
 |-  I = ( LAut ` K )
4 simpl 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( K e. V /\ F e. I ) )
5 1 3 laut1o 
 |-  ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : B -1-1-onto-> B )
6 5 adantr 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
7 simprl 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
8 f1ocnvdm 
 |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ X e. B ) -> ( `' F ` X ) e. B )
9 6 7 8 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( `' F ` X ) e. B )
10 simprr 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
11 f1ocnvdm 
 |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ Y e. B ) -> ( `' F ` Y ) e. B )
12 6 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( `' F ` Y ) e. B )
13 1 2 3 lautle 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( ( `' F ` X ) e. B /\ ( `' F ` Y ) e. B ) ) -> ( ( `' F ` X ) .<_ ( `' F ` Y ) <-> ( F ` ( `' F ` X ) ) .<_ ( F ` ( `' F ` Y ) ) ) )
14 4 9 12 13 syl12anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( `' F ` X ) .<_ ( `' F ` Y ) <-> ( F ` ( `' F ` X ) ) .<_ ( F ` ( `' F ` Y ) ) ) )
15 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ X e. B ) -> ( F ` ( `' F ` X ) ) = X )
16 6 7 15 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` ( `' F ` X ) ) = X )
17 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( `' F ` Y ) ) = Y )
18 6 10 17 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` ( `' F ` Y ) ) = Y )
19 16 18 breq12d 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` X ) ) .<_ ( F ` ( `' F ` Y ) ) <-> X .<_ Y ) )
20 14 19 bitr2d 
 |-  ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .<_ Y <-> ( `' F ` X ) .<_ ( `' F ` Y ) ) )