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Theorem issmo2

Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2013)

Ref Expression
Assertion issmo2 
|- ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> Smo F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fss 
 |-  ( ( F : A --> B /\ B C_ On ) -> F : A --> On )
2 1 ex 
 |-  ( F : A --> B -> ( B C_ On -> F : A --> On ) )
3 fdm 
 |-  ( F : A --> B -> dom F = A )
4 3 feq2d 
 |-  ( F : A --> B -> ( F : dom F --> On <-> F : A --> On ) )
5 2 4 sylibrd 
 |-  ( F : A --> B -> ( B C_ On -> F : dom F --> On ) )
6 ordeq 
 |-  ( dom F = A -> ( Ord dom F <-> Ord A ) )
7 3 6 syl 
 |-  ( F : A --> B -> ( Ord dom F <-> Ord A ) )
8 7 biimprd 
 |-  ( F : A --> B -> ( Ord A -> Ord dom F ) )
9 3 raleqdv 
 |-  ( F : A --> B -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) <-> A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
10 9 biimprd 
 |-  ( F : A --> B -> ( A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
11 5 8 10 3anim123d 
 |-  ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) ) )
12 dfsmo2 
 |-  ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
13 11 12 imbitrrdi 
 |-  ( F : A --> B -> ( ( B C_ On /\ Ord A /\ A. x e. A A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) -> Smo F ) )