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Theorem ismntd

Description: Property of being a monotone increasing function, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024)

Ref Expression
Hypotheses ismntd.1 
|- A = ( Base ` V )
ismntd.2 
|- B = ( Base ` W )
ismntd.3 
|- .<_ = ( le ` V )
ismntd.4 
|- .c_ = ( le ` W )
ismntd.5 
|- ( ph -> V e. C )
ismntd.6 
|- ( ph -> W e. D )
ismntd.7 
|- ( ph -> F e. ( V Monot W ) )
ismntd.8 
|- ( ph -> X e. A )
ismntd.9 
|- ( ph -> Y e. A )
ismntd.10 
|- ( ph -> X .<_ Y )
Assertion ismntd 
|- ( ph -> ( F ` X ) .c_ ( F ` Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ismntd.1 
 |-  A = ( Base ` V )
2 ismntd.2 
 |-  B = ( Base ` W )
3 ismntd.3 
 |-  .<_ = ( le ` V )
4 ismntd.4 
 |-  .c_ = ( le ` W )
5 ismntd.5 
 |-  ( ph -> V e. C )
6 ismntd.6 
 |-  ( ph -> W e. D )
7 ismntd.7 
 |-  ( ph -> F e. ( V Monot W ) )
8 ismntd.8 
 |-  ( ph -> X e. A )
9 ismntd.9 
 |-  ( ph -> Y e. A )
10 ismntd.10 
 |-  ( ph -> X .<_ Y )
11 1 2 3 4 ismnt 
 |-  ( ( V e. C /\ W e. D ) -> ( F e. ( V Monot W ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) ) ) )
12 11 biimp3a 
 |-  ( ( V e. C /\ W e. D /\ F e. ( V Monot W ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) ) )
13 12 simprd 
 |-  ( ( V e. C /\ W e. D /\ F e. ( V Monot W ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) )
14 5 6 7 13 syl3anc 
 |-  ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) )
15 breq1 
 |-  ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
16 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
17 16 breq1d 
 |-  ( x = X -> ( ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .c_ ( F ` y ) ) )
18 15 17 imbi12d 
 |-  ( x = X -> ( ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ y -> ( F ` X ) .c_ ( F ` y ) ) ) )
19 breq2 
 |-  ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
20 fveq2 
 |-  ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
21 20 breq2d 
 |-  ( y = Y -> ( ( F ` X ) .c_ ( F ` y ) <-> ( F ` X ) .c_ ( F ` Y ) ) )
22 19 21 imbi12d 
 |-  ( y = Y -> ( ( X .<_ y -> ( F ` X ) .c_ ( F ` y ) ) <-> ( X .<_ Y -> ( F ` X ) .c_ ( F ` Y ) ) ) )
23 eqidd 
 |-  ( ( ph /\ x = X ) -> A = A )
24 18 22 8 23 9 rspc2vd 
 |-  ( ph -> ( A. x e. A A. y e. A ( x .<_ y -> ( F ` x ) .c_ ( F ` y ) ) -> ( X .<_ Y -> ( F ` X ) .c_ ( F ` Y ) ) ) )
25 14 10 24 mp2d 
 |-  ( ph -> ( F ` X ) .c_ ( F ` Y ) )