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Theorem iindif2

Description: Indexed intersection of class difference. Generalization of half of theorem "De Morgan's laws" in Enderton p. 31. Use uniiun to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 5-Oct-2006)

Ref Expression
Assertion iindif2 
|- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 r19.28zv 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2 eldif 
 |-  ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3 2 bicomi 
 |-  ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4 3 ralbii 
 |-  ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5 ralnex 
 |-  ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6 eliun 
 |-  ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7 5 6 xchbinxr 
 |-  ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8 7 anbi2i 
 |-  ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9 1 4 8 3bitr3g 
 |-  ( A =/= (/) -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10 eliin 
 |-  ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
11 10 elv 
 |-  ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
12 eldif 
 |-  ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
13 9 11 12 3bitr4g 
 |-  ( A =/= (/) -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
14 13 eqrdv 
 |-  ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )