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Theorem hlrelat3

Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat . (Contributed by NM, 2-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses hlrelat3.b 
|- B = ( Base ` K )
hlrelat3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
hlrelat3.s 
|- .< = ( lt ` K )
hlrelat3.j 
|- .\/ = ( join ` K )
hlrelat3.c 
|- C = (
hlrelat3.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion hlrelat3 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hlrelat3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 hlrelat3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 hlrelat3.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 hlrelat3.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 hlrelat3.c 
 |-  C = (
6 hlrelat3.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
7 1 2 3 6 hlrelat1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
8 7 imp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) )
9 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> -. p .<_ X )
10 simp1l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> K e. HL )
11 simp1l2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> X e. B )
12 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> p e. A )
13 1 2 4 5 6 cvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ p e. A ) -> ( -. p .<_ X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
14 10 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> ( -. p .<_ X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
15 9 14 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> X C ( X .\/ p ) )
16 simp1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) )
17 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> X .< Y )
18 2 3 pltle 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y -> X .<_ Y ) )
19 16 17 18 sylc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
20 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> p .<_ Y )
21 10 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> K e. Lat )
22 1 6 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
23 12 22 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> p e. B )
24 simp1l3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> Y e. B )
25 1 2 4 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ p e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ p .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
26 21 11 23 24 25 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ p .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
27 19 20 26 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> ( X .\/ p ) .<_ Y )
28 15 27 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) -> ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
29 28 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( p e. A -> ( ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) -> ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) ) )
30 29 reximdvai 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) -> E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) )
31 8 30 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( X C ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )