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Theorem glbcl

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018)

Ref Expression
Hypotheses glbc.b 
|- B = ( Base ` K )
glbc.g 
|- G = ( glb ` K )
glbc.k 
|- ( ph -> K e. V )
glbc.s 
|- ( ph -> S e. dom G )
Assertion glbcl 
|- ( ph -> ( G ` S ) e. B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 glbc.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 glbc.g 
 |-  G = ( glb ` K )
3 glbc.k 
 |-  ( ph -> K e. V )
4 glbc.s 
 |-  ( ph -> S e. dom G )
5 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
6 biid 
 |-  ( ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) <-> ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
7 1 5 2 3 4 glbelss 
 |-  ( ph -> S C_ B )
8 1 5 2 6 3 7 glbval 
 |-  ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
9 1 5 2 6 3 4 glbeu 
 |-  ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
10 riotacl 
 |-  ( E! x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) e. B )
11 9 10 syl 
 |-  ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) e. B )
12 8 11 eqeltrd 
 |-  ( ph -> ( G ` S ) e. B )