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Theorem eqoprab2b

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b . Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . Use the weaker eqoprab2bw when possible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion eqoprab2b 
|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ssoprab2b 
 |-  ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
2 ssoprab2b 
 |-  ( { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> A. x A. y A. z ( ps -> ph ) )
3 1 2 anbi12i 
 |-  ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
4 eqss 
 |-  ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } /\ { <. <. x , y >. , z >. | ps } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
5 2albiim 
 |-  ( A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
6 5 albii 
 |-  ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
7 19.26 
 |-  ( A. x ( A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. y A. z ( ps -> ph ) ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) /\ A. x A. y A. z ( ps -> ph ) ) )
9 3 4 8 3bitr4i 
 |-  ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph <-> ps ) )